All Tasks - Asymptote

Έστω $f(x)= -3\pi +2 \arccos\left( e^{3x+1}\right) $ με πεδίο ορισμού $D_f=\left]-\infty, -\dfrac{1}{3}\right] $. $f^{-1}(x)= -\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \ln\left( \cos\left( \dfrac{x+3\pi}{2}\right)\right)$ είναι η αναλυτική έκφραση της αντίστροφης συνάρτησης με πεδίο ορισμού $D_{f^{-1}}=\left[ -3\pi, -2\pi\right[$. Η λύση της εξίσωσης: $f\left(\dfrac{x-1}{3}\right) -f\left(-\dfrac{1}{3}\right) -\arccos(0)=\sec\left( \arccos\left(\dfrac{1}{3}\right) \right) +\dfrac{1}{f^{-1}(-3\pi)}$ είναι:

Έστω $f$ και $g$ είναι δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις στο πεδίο ορισμού τους με: $f(x)= -3\pi +2 \arccos(3x+1)$, $g(x)=\sin(f(x))$ και $D_f=\left[-\dfrac{2}{3}, 0\right]$. Θεωρώντας ότι η $g'(x)$ είναι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης $g(x)$, τότε $g'\left(-\dfrac{1}{3}\right)$ είναι:

Θεωρούμε $g(x)= \arccos\left(\dfrac{x}{2}\right)-3\pi$ με πεδίο ορισμού $D_g=[-2, 2]$. Η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης $g(x)$ δίνεται από $g'\left(x\right)=\dfrac{b}{\sqrt{a-x^2}}$. Τότε οι τιμές των $a$ και $b$ είναι αντίστοιχα:

Έστω $y= (a+2) \arccos(x)$ με $a \in \mathbb{R}$. $y'$ και $y''$ είναι η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της $y$. Γνωρίζοντας ότι $ x \in \left]-1, 1\right[$ και $\left( 1-x^2\right) y''+y'=0$,η τιμή του $a$ είναι:

Έστω $f(x)= -3\pi +a \arccos(3x+1)$ με $a \in \mathbb R$ και πεδίο ορισμού $D_f=\left[-\dfrac{2}{3}, 0\right]$. Γνωρίζοντας ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της $f$ στο σημείο με τετμημένη $-\dfrac{1}{3}$ είναι παράλληλη στην ευθεία $15x+y=10$,να βρείτε την τιμή του $a$ είναι:

Στην εικόνα έχουμε την αναπαράσταση: -της συνάρτηση: $f(x)=\arccos(x)$ - μια ευθείας $r$ που εφάπτεται στη γραφική παράσταση της $f$ στο σημείο $P$ με τετμημένη $x_0=-\dfrac{1}{2}$ Χαρακτήρισε τις παρακάτω προτάσεις αν είναι σωστές με (Σ) ή αν είναι λάθος με (Λ).