All Tasks - Asymptote

Έστω $ \displaystyle f(x)= \dfrac{\pi}{2} -b \arctan(1-2x)$ με $b \in \mathbb{R}$ και έστω $f'(x)$ και $f''(x)$ η πρώτη και η δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης $f$. Γνωρίζοντας ότι $\displaystyle f\left(\dfrac{1}{2}\right) \times f'\left(\dfrac{1}{2}\right) + f''\left(\frac{1}{2}\right) = 4 \pi$, η τιμή του $b$ είναι:

Δίνεται η $f(x)= -2 \arctan\left(2x\right)$ με πεδίο ορισμού $D_f=\mathbb{R}$. Αν θεωρήσουμε την $f'(x)$ ως την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης $f(x)$, τότε η $f'\left(-\dfrac{1}{2}\right)$ είναι:

Δίνονται οι $f$ και $g$ που είναι δύο διαφορίσιμες συναρτήσεις στο πεδίο ορισμού τους με: $f(x)= \dfrac{\pi}{2} -2 \arctan(1-2x)$ και $g(x)=\left( x^2+1\right) f(x)$. Θεωρώντας ότι η $g'(x)$ είναι η πρώτη παράγωγος της $g(x)$, τότε η $g'\left(\dfrac{1}{2}\right)$ είναι:

Θεωρήστε $f(x)= -2 \arctan\left(2x\right)$ με πεδίο ορισμού $D_f=\mathbb{R}$ και πεδίο τιμών $D'_f = \left] -\pi, \pi \right[$. Η αναλυτική έκφραση της αντίστροφης συνάρτησης $f$, $f^{-1}(x)$, and $f^{-1}\left(-\dfrac{\pi}{3} \right) $ είναι:

Θεωρήστε $f(x)= \dfrac{\pi}{2} -2 \arctan(1-2x)$ με πεδίο ορισμού $D_f=\mathbb{R}$ και δίνετε η $f^{-1}(x)= \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{2} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)$ που είναι αναλυτική έκφραση της αντίστροφης συνάρτησης με πεδίο ορισμού $D_f^{-1}=\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right[$. Η λύση της εξίσωσης $f\left( \dfrac{1-2x}{2}\right) +\cot\left(\arctan(1)\right) +f^{-1}(0) = 1$ είναι:

Θεωρήστε $f(x)=-2 \arctan\left(2x\right)$ με πεδίο ορισμού $D_f=\mathbb{R}$. Η λύση της εξίσωσης $2\ f\left(\dfrac{x}{2} \right) -\dfrac{2}{\pi}\ f\left(\dfrac{1}{2} \right)=1$ είναι: