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Sejam $f$ e $g$ duas funções diferenciáveis no seu domínio, tais que: $f(x)= \dfrac{\pi}{2} -2 \arctan(1-2x)\ $ e $\ g(x)=\left( x^2+1\right) f(x)$. Considerando que $g'(x)$ é a primeira derivada da função $g(x)$, então $\ g'\left(\dfrac{1}{2}\right)\ $ é:

Considere $f(x)= -2 \arctan\left(2x\right)$ de domínio $D_f=\mathbb{R}$ e contradomínio $D'_f = \left] -\pi, \pi \right[$. A expressão analítica da função inversa de $f$, $f^{-1}(x)$, e $f^{-1}\left(-\dfrac{\pi}{3} \right) $ são, respetivamente,

Considere $\ f(x)= \dfrac{\pi}{2} -2 \arctan(1-2x)\ $ de domínio $\ D_f=\mathbb{R}\ $ e seja $\ f^{-1}(x)= \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{2} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)$ a expressão analítica da função inversa cujo domínio é $\ D_f^{-1}=\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right[$. A solução da equação $\ f\left( \dfrac{1-2x}{2}\right) +\cot\left(\arctan(1)\right) +f^{-1}(0) = 1\ $ é:

Considere $f(x)=-2 \arctan\left(2x\right)$ de domínio $D_f=\mathbb{R}$. A solução da equação $2\ f\left(\dfrac{x}{2} \right) -\dfrac{2}{\pi}\ f\left(\dfrac{1}{2} \right)=1\ $ é:

Considere $f(x)= \dfrac{\pi}{2} -2 \arctan(1-2x)$ de domínio $D_f=\mathbb{R}$. A solução da equação $f\left(\dfrac{1}{2}-x \right) + \arctan\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=\dfrac{\pi}{6}$ é:

Considere $f(x)= a -2 \arctan(1-2x), \ a \in \mathbb{R}$, de domínio $D_f=\mathbb{R}$. Determine a expressão analítica da função inversa de $f$, $f^{-1}(x)$, e use-a para calcular o valor de $a \in \mathbb R$ sabendo que $f^{-1}\left( -\dfrac{\pi}{2}\right) =0$.