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Sean $f$ y $g$ dos funciones diferenciables en todo su dominio, tales que: $f(x)= \dfrac{\pi}{2} -2 \arctan(1-2x)$ y $g(x)=\left( x^2+1\right) f(x)$. Si $g'(x)$ es la primera derivada de la función $g(x)$, entonces $g'\left(\dfrac{1}{2}\right)$ es:

Consideramos $f(x)= -2 \arctan\left(2x\right)$ con dominio $D_f=\mathbb{R}$ y con imagen $D'_f = \left] -\pi, \pi \right[$. Las expresiones analíticas de la inversa de la función $f$, $f^{-1}(x)$, y $f^{-1}\left(-\dfrac{\pi}{3} \right) $ son, respectivamente.

Considera la función $f(x)= \dfrac{\pi}{2} -2 \arctan(1-2x)$ con dominio $D_f=\mathbb{R}$ y sea $f^{-1}(x)= \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{2} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)$ la expresión analítica de su función inversa con dominio $D_f^{-1}=\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right[$. La solución de la ecuación $f\left( \dfrac{1-2x}{2}\right) +\cot\left(\arctan(1)\right) +f^{-1}(0) = 1$ es:

Consdieremos $f(x)=-2 \arctan\left(2x\right)$ con dominio $D_f=\mathbb{R}$. La solución de la ecuación $2\ f\left(\dfrac{x}{2} \right) -\dfrac{2}{\pi}\ f\left(\dfrac{1}{2} \right)=1$ es:

Considera $f(x)= \dfrac{\pi}{2} -2 \arctan(1-2x)$ con dominio $D_f=\mathbb{R}$. La solución de la ecuación $f\left(\dfrac{1}{2}-x \right) + \arctan\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=\dfrac{\pi}{6}$ es:

Consideremos $f(x)= a -2 \arctan(1-2x), \ a \in \mathbb{R}$, con dominio $D_f=\mathbb{R}$. Determina la expresión analítica de la inversa de la función $f$, $f^{-1}(x)$ y utilizarlo para calcular el valor de $a \in \mathbb R$ sabiendo que $f^{-1}\left( -\dfrac{\pi}{2}\right) =0$.