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Considera $\ y=f(x)= \dfrac{\pi}{2} -2 \arctan(1-2x)\ $ di dominio $D_f=\mathbb{R}$. Applicando il teorema di derivazione della funzione inversa, un'espressione di $\ \dfrac{dy}{dx}\ $ è:

Sia $\ \displaystyle f(x)= \dfrac{\pi}{2} -b \arctan(1-2x)$, $b \in \mathbb{R}$, e siano $f'(x)\ $ e $\ f''(x)$ le derivate prima e seconda della funzione $f$. Sapendo che $\ \displaystyle f\left(\dfrac{1}{2}\right) \cdot f'\left(\dfrac{1}{2}\right) + f''\left(\frac{1}{2}\right) = 4 \pi\ $, quindi il valore di $\ b\ $ è:

Considera $\ f(x)= -2 \arctan\left(2x\right)\ $ di dominio $D_f=\mathbb{R}$. Se $f'(x)$ è la derivata prima di $f(x)$, allora $f'\left(-\dfrac{1}{2}\right)\ $ è:

Siano $f$ e $g$ due funzioni derivabili nei loro domini, tali che: $f(x)= \dfrac{\pi}{2} -2 \arctan(1-2x)\ $ e $\ g(x)=\left( x^2+1\right) f(x)$. Considerando che $g'(x)$ è la derivata prima della funzione $g(x)$, si ha che $\ g'\left(\dfrac{1}{2}\right)\ $ é:

Consideriamo $f(x)= -2 \arctan\left(2x\right)$ di dominio $D_f=\mathbb{R}$ e immagine $D'_f = \left] -\pi, \pi \right[$. L'espressione analitica dell'inversa della funzione $f$, $f^{-1}(x)$, e $f^{-1}\left(-\dfrac{\pi}{3} \right) $ sono, rispettivamente,

Considera $\ f(x)= \dfrac{\pi}{2} -2 \arctan(1-2x)\ $ di dominio $\ D_f=\mathbb{R}\ $ e sia $\ f^{-1}(x)= \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{2} \tan\left(\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{x}{2}\right)$ l'espressione analitica della funzione inversa di dominio $\ D_f^{-1}=\left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right[$. La soluzione dell'equazione $\ f\left( \dfrac{1-2x}{2}\right) +\cot\left(\arctan(1)\right) +f^{-1}(0) = 1\ $ è: